el baúl de las ideas (física) : Ejercicios de Dilatación

1.- Los rieles de una vía de tren de acero, tienen 1500 m de longitud . ¿Qué longitud tendrá cuando la temperatura aumente de 24°C a 45°C?

Solución: El problema es muy sencillo, por lo cual no requiere mucho análisis, sin embargo vamos a tocar ese punto antes de comenzar a resolverlo.

Si bien se sabe, los rieles en las vías del ferrocarril, normalmente se le coloca un espacio entre ellas a cierta distancia para cuando éste material se dilate a ciertas horas del día.

Ahora anotemos nuestros datos:

Datos:

$\displaystyle {{L}_{o}}=1500m$ –> Longitud Inicial

$\displaystyle {{L}_{f}}=\text{?}$ –> Longitud Final –> La vamos a encontrar

$\displaystyle {{t}_{o}}=24{}^\circ C$ –> Temperatura Inicial

$\displaystyle {{t}_{f}}=45{}^\circ C$ –> Temperatura Final

$\displaystyle \alpha =11x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}}$ –> Coeficiente de dilatación lineal del Acero.

Hemos elegido acero, porque el problema nos pide que son vías del ferrocarril de acero.

Lo único que haremos será sustituir nuestros datos, en la fórmula final.

$\displaystyle {{L}_{f}}={{L}_{o}}(1+\alpha \Delta t)$

Pero antes de sustituir, debemos saber cual es el valor de la diferencial de temperatura, para poder meterla en la fórmula, esa diferencial es la resta de la temperatura más alta, con la temperatura más baja.

$\displaystyle \Delta t=45{}^\circ C-24{}^\circ C=21{}^\circ C$

Ahora si, a sustituir en la fórmula.

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1+21{}^\circ C\cdot 11x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}})$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1+2.31x{{10}^{-4}})$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500m(1.000231)$

$\displaystyle {{L}_{f}}=1500.3465m$

Si observamos, las vías del tren se han dilatado solo .3465 metros, es decir 346.5 milimetros, muy poco, pero significativo para la distancia entre las juntas de riel.

Ahora veamos otro ejemplo

2.- En un experimento en laboratorio los ingenieros quieren saber la temperatura en la que un cuerpo de plomo alcanza los 25.43 m de longitud, cuando inicialmente se mantiene 25.34 m a una temperatura de 26°C.

Solución: El problema nos pide la temperatura final de un cuerpo de plomo cuando éste alcanza una longitud final de 25.43, para ello vamos a considerar primeramente nuestros datos:

$\displaystyle {{L}_{o}}=25.34m$ –> Longitud Inicial

$\displaystyle {{L}_{f}}=25.43m$ –> Longitud Final

$\displaystyle {{t}_{o}}=26{}^\circ C$ –> Temperatura Inicial

$\displaystyle {{t}_{f}}=x{}^\circ C$ –> Temperatura Final (La que vamos a encontrar)

$\displaystyle \alpha =29x{{10}^{-6}}{}^\circ {{C}^{-1}}$ –> Coeficiente de dilatación lineal del Plomo.

Ahora solamente tenemos que despejar nuestra fórmula en términos de la temperatura final.

$\displaystyle {{L}_{f}}-{{L}_{0}}=\alpha {{L}_{0}}\Delta t$

$\displaystyle \frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}=\Delta t$

Ahora tenemos que invertir la ecuación, para mayor comodidad

$\displaystyle \Delta t=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}$

Posteriormente si sabemos que $\displaystyle \Delta t={{t}_{f}}-{{t}_{o}}$

Entonces

$\displaystyle {{t}_{f}}-{{t}_{o}}=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}$

Despejando la temperatura final:

$\displaystyle {{t}_{f}}=\frac{{{L}_{f}}-{{L}_{0}}}{\alpha {{L}_{0}}}+{{t}_{0}}$

Ahora reemplazamos nuestros datos:

$\displaystyle {{t}_{f}}=\frac{25.43-25.34}{(29x{{10}^{-6}})(25.34)}+26=148.4772{}^\circ C$

Por lo que tenemos una temperatura final de 148.4772°C

Y eso nos da a entender que justamente cuando el cuerpo alcanza cierta dilatación final de 25.34m, lo hace cuando la temperatura está a los 148.4772°C

el baúl de las ideas (física)

lunes, 7 de noviembre de 2016

Ejercicios de Dilatación

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